Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（-2，-1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；
（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（-2，-1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；
（III）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为-k，假设∠PMQ为直角，则k•（-k）=-1，k=±1，再验证即可求得结论．

解答 （Ⅰ）解：由题设，得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，①且$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$． …3分
（Ⅱ）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．

设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得
（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
-2，x₁是该方程的两根，则-2x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-4}{1+2{k}^{2}}$，x₁=$\frac{-4{k}_{2}+4k+2}{1+2{k}^{2}}$．
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），
同理得x₂=$\frac{-4{k}_{2}-4k+2}{1+2{k}^{2}}$．…6分
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}+4）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
因此直线PQ的斜率为定值． …9分
（Ⅲ）解：设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为-k，
假设∠PMQ为直角，则k•（-k）=-1，k=±1．…11分
若k=1，则直线MQ方程y+1=-（x+2），
与椭圆C方程联立，得x²+4x+4=0，
该方程有两个相等的实数根-2，不合题意；
同理，若k=-1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…13分

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．