Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=$\frac{1}{2}$，点F₂到直线y=x的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过F₂任意作一条直线l交椭圆C于A、B两点，是否存在以线段AB为直径的圆经过F₁，若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$⇒b²=3，求得椭圆方程．
（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x=my+1，两交点坐标为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理列得条件，求得所需直线．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$⇒b²=3，所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（Ⅱ）设满足条件的直线为l，其方程为x=my+1，两交点坐标为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}=1}{3}}\\{x=my+1}\end{array}\right.$消去x得：（3m²+4）y²+6my-9=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$
以AB为直径得圆过点F1故有：$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{{F}_{1}B}=0$
（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0
代入化简得9m²-7=0，m=$±\frac{\sqrt{7}}{3}$
即存在满足条件的直线l，其方程为3x$±\sqrt{7}y-3=0$．

点评 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．