Question

5．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周长为4．
（1）当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求二面角B-A₁C-D的值；
（2）线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，作BM⊥A₁C于M，连接DM，BD，确定∠BMD即为所求二面角的平面角，△BMD中，根据余弦定理求二面角B-A₁C-D的值；
（2）底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A₁C上存在点P满足要求，否则不存在．

解答 解：（1）根据题意，长方体体积为V=t（2-t）≤（$\frac{t+2-t}{2}$）²=1 …2分
当且仅当t=2-t，即t=1时，体积V有最大值为1
所以当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形  …4分
作BM⊥A₁C于M，连接DM，BD …5分
因为四边形ABCD为正方形，所以△A₁BC与△A₁DC全等，故DM⊥A₁C，
所以∠BMD即为所求二面角的平面角     …6分
因为BC⊥平面AA₁B₁B，所以△A₁BC为直角三角形
又A₁B=$\sqrt{2}$，A₁C=$\sqrt{3}$，所以BM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，同理可得，DM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在△BMD中，根据余弦定理有：cos∠BMD=$\frac{\frac{6}{9}+\frac{6}{9}-2}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=-$\frac{1}{2}$  …8分
所以∠BMD=120°
即此时二面角B-A₁C-D的值是120°．…9分
（2）若线段A₁C上存在一点P，使得 A₁C⊥平面BPD，则A₁C⊥BD  …10分
又A₁A⊥平面ABCD，所以A₁A⊥BD，所以BD⊥平面A₁AC
所以BD⊥AC        …12分
底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A₁C上存在点P满足要求，否则不存在
由（1）知，所求点P即为BM⊥A₁C的垂足M
此时，A₁P=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}}{{A}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$． …15分

点评 本题考查线面垂直，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．