Question

17．函数y=f（x），（x∈R）为奇函数，当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），若 a=$\sqrt{3}$•f（$\sqrt{3}$），b=（lg3）•f（lg3），c=（log₂$\frac{1}{4}$）•f（log₂$\frac{1}{4}$），则a，b，c的大小顺序为（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＞b＞a
• C． c＜a＜b
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），根据当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可得g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）在（-∞，0）时单调递减，在函数g（x）在（0，+∞）单调递增，问题得以解决．

解答 解：令g（x）=xf（x），
∵当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴可以化为xf′（x）+f（x）＜0，
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（-∞，0）单调递减，
∵g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递增，
∴g（log₂$\frac{1}{4}$）=g（-2）=g（2）
∵2＞$\sqrt{3}$＞lg3，
∴c＞a＞b．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题