Question

2．已知f（x）=2x²-tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若x₁、x₂∈[α，β]且x₁≠x₂，求证：4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（3）设$g（x）=\frac{4x-t}{{{x^2}+1}}$，对于任意x₁、x₂∈[α，β]上恒有|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（2β-α）成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）|f（x）|的图象可把f（x）在x轴以下的图象翻折到x轴上方得到，从而需翻折后定点值$\frac{{t}^{2}}{8}＜2$，从而得出-4＜t＜4；
（2）由题意可知，α，β为方程2x²-tx-2=0的两个不同实根，从而根据韦达定理，$α+β=\frac{t}{2}，αβ=-1$，可设α＜x₁＜x₂＜β，从而得到（x₁-α）（x₂-β）≤0，进一步得到，x₁x₂-（αx₂+βx₁）-1≤0，从而4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4≤4（αx₂+βx₁）-t（x₁-x₂），并且可得到4（αx₂+βx₁）-t（x₁-x₂）=2（x₂-x₁）（α-β）＜0，从而得出结论；
（3）由求根公式求出α，β，进一步可求出g（α），g（β），而根据单调性的定义可说明函数g（x）在[α，β]上单调递增，从而可得到g（β）-g（α）=$\sqrt{{t}^{2}+16}≤λ（2β-α）$，从而可得到$λ≥\frac{4}{\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+16}}+3}$，可判断出函数$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+16}}$在（-4，4）上的单调性，从而可以得到$\frac{4}{\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+16}}+3}＜\frac{4}{3-\frac{\sqrt{2}}{2}}$，这样便最后得出$λ≥\frac{24+4\sqrt{2}}{17}$．

解答 解：（1）根据题意，f（x）=2x²-tx图象翻折后，顶点值$\frac{t^2}{8}＜2$；
解得-4＜t＜4；
∴t的取值范围为（-4，4）；
（2）证明：根据题意知，α，β是方程2x²-tx-2=0的两实根；
由韦达定理知$α+β=\frac{t}{2}，αβ=-1$，不妨设α＜x₁＜x₂＜β；
由于x₁、x₂∈[α，β]，故（x₁-α）（x₂-β）≤0，x₁x₂-（αx₂+βx₁）+αβ≤0
即4x₁x₂-4（αx₂+βx₁）-4≤0；
∴4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4≤4（αx₂+βx₁）-t（x₁+x₂）=4（αx₂+βx₁）-2（α+β）（x₁+x₂）=2（αx₂+βx₁）-2（αx₁+βx₂）=2（x₂-x₁）（α-β）＜0；
∴4x₁x₂-t（x₁+x₂）-4＜0；
（3）$α=\frac{{t-\sqrt{{t^2}+16}}}{4}，β=\frac{{t+\sqrt{{t^2}+16}}}{4}$，所以$g（α）=\frac{-8}{{\sqrt{{t^2}+16}-t}}，g（β）=\frac{8}{{\sqrt{{t^2}+16}+t}}$；
任取x₁、x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，则$g（{x_1}）-g（{x_2}）=-\frac{{4{x_1}{x_2}-t（{x_1}+{x_2}）-4}}{{（{x_1}^2+1）（x_2^2+1）}}（{x_2}-{x_1}）＜0$；
所以g（x）在区间[α，β]上是增函数，故|g（x₁）-g（x₂）|≤λ（2β-α）等价于g（β）-g（α）=$\frac{8}{{\sqrt{{t^2}+16}+t}}+\frac{8}{{\sqrt{{t^2}+16}-t}}=\sqrt{{t^2}+16}≤λ（2β-α）$；
又因为$2β-α=\frac{{t+3\sqrt{{t^2}+16}}}{4}＞0$；
所以$λ≥\frac{{\sqrt{{t^2}+16}}}{2β-α}=\frac{{4\sqrt{{t^2}+16}}}{{t+3\sqrt{{t^2}+16}}}=\frac{4}{{\frac{t}{{\sqrt{{t^2}+16}}}+3}}$，设$h（t）=\frac{t}{{\sqrt{{t^2}+16}}}$在-4＜t＜4时奇函数且递增所以$0＜3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜\frac{t}{{\sqrt{{t^2}+16}}}+3＜3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
所以$\frac{4}{{\frac{t}{{\sqrt{{t^2}+16}}}+3}}$$＜\frac{4}{{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$，所以$λ≥\frac{{24+4\sqrt{2}}}{17}$；
∴λ的取值范围为[$\frac{24+4\sqrt{2}}{17}$，+∞）．

点评 考查函数|f（x）|和函数f（x）的关系，二次函数顶点纵坐标的计算公式，解一元二次不等式，韦达定理，并熟悉二次函数的图象，以及一元二次方程的求根公式，根据函数单调性定义判断函数的单调性，函数单调性定义的运用．