Question

11．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=CA=$\sqrt{3}$，AD=CD=AA₁=1，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，E为线段BC的中点，
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）求证：A₁E∥平面DCC₁D₁
（Ⅲ） 若AA₁⊥AC，求A₁E与面ACC₁A₁所成角大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA₁C₁C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；
（Ⅱ）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（Ⅲ）过E作AC的垂线，设垂足为N，利用面ABCD⊥面AA₁C₁C，可得EN⊥面AA₁C₁C，连A₁N，则A₁N为A₁E在面AA₁C₁C内的射影，∠EA₁N为直线A₁E与面AC₁所成角，即可求A₁E与面ACC₁A₁所成角大小．

解答 （Ⅰ）证明：在四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB=BC=CA，且AD=DC，
取AC中点O，则BO⊥AC，DO⊥AC，∴B，O，D三点在一条直线上．
又∵面AA₁C₁C⊥面ABCD，面AA₁C₁C∩面ABCD=AC，BD?面ABCD，BD⊥AC，
∴BD⊥面AA₁C₁C，AA₁?面AA₁C₁C，∴BD⊥AA₁；…4分
（Ⅱ）证明：连AE，在Rt△DCO中∠DCO=30°
在正△BCA中，∠BCO=60°，∴DC⊥BC，
又在正△BCA中，AE⊥BC，
∴AE∥DC，
又AE?面DCC₁D₁，DC?面DCC₁D₁，∴AE∥面DCC₁D₁，
在四棱锥中，AA₁∥DD₁，AA₁?面DCC₁D₁，DD₁?面DCC₁D₁，
∴AA₁∥面DCC₁D₁，
又AA₁∩AE=A，
∴面A₁AE∥面DCC₁D₁，
又A₁E?面AA₁E，故A₁E∥面DCC₁D₁．
（Ⅲ）解：过E作AC的垂线，设垂足为N，∵面ABCD⊥面AA₁C₁C，∴EN⊥面AA₁C₁C，
连A₁N，则A₁N为A₁E在面AA₁C₁C内的射影，
∴∠EA₁N为直线A₁E与面AC₁所成角，
由已知得：$EN=\frac{3}{4}，{A_1}N=\sqrt{A{A_1}^2+A{N^2}}=\frac{{\sqrt{43}}}{4}$，∴$tan∠E{A_1}N=\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{\sqrt{43}}}{4}}}=\frac{{3\sqrt{43}}}{43}$．

点评 熟练掌握面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．