Question

19．定义：若$\frac{f（x）}{x^k}$在[k，+∞）上为增函数，则称f（x）为“k次比增函数”，其中k∈N^*，已知f（x）=e^ax．（其中e=2.71238…）
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求证：$\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{{2{{（\sqrt{e}）}^2}}}+\frac{1}{{3{{（\sqrt{e}）}^3}}}+…+\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}＜\frac{7}{2e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题知$y=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$在[1，+∞）上为增函数，则将题目转化成ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
（Ⅱ）对参数m讨论，利用g（x）的单调性求解．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞0时，g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故$g（x）≥g（2）=\frac{e}{2}$，即$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，列式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题知$y=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$在[1，+∞）上为增函数，
故$（\frac{{{e^{ax}}}}{x}）'=\frac{{{e^{ax}}（ax-1）}}{x^2}≥0$在[1，+∞）上恒成立，故ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
即$a≥\frac{1}{x}$在x∈[1，+∞）上恒成立，而$\frac{1}{x}≤1$，∴a≥1．--------------（4分）
（Ⅱ）当$a=\frac{1}{2}$时，$g（x）=\frac{f（x）}{x}=\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，$g'（x）=\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}（\frac{x}{2}-1）}}{x^2}$，--------------（5分）
当x＞2时，g'（x）＞0，即g（x）在[2，+∞）上单调递增；
当x＜2且x≠0时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，2），（-∞，0）上单调递减；
又m＞0，∴m+1＞1
故当m≥2时，g（x）在[m，m+1]上单调递增，此时$g{（x）_{min}}=g（m）=\frac{{{e^{\frac{m}{2}}}}}{m}$；
当0＜m≤1时，m+1≤2，g（x）在[m，m+1]上单调递减，此时$g{（x）_{min}}=g（m+1）=\frac{{{e^{\frac{m+1}{2}}}}}{m+1}$；
当1＜m＜2时，g（x）在[m，2]上单调递减，在[2，m+1]单调递增，故此时$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{e}{2}$；--------------（8分）
综上有：当0＜m≤1时，$g{（x）_{min}}=g（m+1）=\frac{{{e^{\frac{m+1}{2}}}}}{m+1}$；
当1＜m＜2时，$g{（x）_{min}}=g（2）=\frac{e}{2}$；
当m≥2时，$g{（x）_{min}}=g（m）=\frac{{{e^{\frac{m}{2}}}}}{m}$．--------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞0时，g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
故$g（x）≥g（2）=\frac{e}{2}$，即$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，---------------（10分）
故当x＞0时，总有$\frac{x}{{{e^{\frac{x}{2}}}}}≤\frac{2}{e}$成立，
取x=n时有$\frac{n}{{{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{2}{e}$，$\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}=\frac{n}{{{n^2}{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{1}{n^2}•\frac{2}{e}$，--------------（12分）
故$\frac{1}{{\sqrt{e}}}+\frac{1}{{2{{（\sqrt{e}）}^2}}}+\frac{1}{{3{{（\sqrt{e}）}^3}}}+…+\frac{1}{{n{{（\sqrt{e}）}^n}}}≤\frac{2}{e}（1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}）$$＜\frac{2}{e}（\frac{5}{4}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}）=\frac{2}{e}（\frac{5}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}）＜\frac{7}{2e}$．--------------（14分）

点评 本题主要考查了利用导数求参数的取值范围，和利用导数证明不等式的成立，属于难度较大题型，在高考中常作压轴出现．