Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n-1}}，n=2k}\\{-1+lo{g}_{2}{a}_{n-1}，n=2k+1}\end{array}\right.$（k∈N^*），其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由分段数列，分别求得a₂，a₃，a₄，…，即可得到n为偶数时，奇数时的通项；
（2）运用分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算比较，即可得到最大值．

解答 解：（1）a₁=10，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n-1}}，n=2k}\\{-1+lo{g}_{2}{a}_{n-1}，n=2k+1}\end{array}\right.$（k∈N^*），
可得a₂=2^a₁=2¹⁰；a₃=-1+log₂a₂=-1+log₂2¹⁰=-1+10=9；
a₄=2^a₃=2⁹；a₅=-1+log₂a₄=-1+9=8；
…，a_n=${2}^{11-\frac{n}{2}}$（n为偶数），a_n=$\frac{21-n}{2}$（n为奇数）．
当n为偶数时，n-1为奇数，a_n=${2}^{\frac{21-（n-1）}{2}}$，
当n为奇数时，n-1为偶数，a_n=-1+log₂${2}^{11-\frac{n-1}{2}}$=10-$\frac{1+n}{2}$，
则有{a_n}的通项公式为an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{21-n}{2}，n为奇数}\\{{2}^{11-\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）当n为偶数时，S_n=（10+9+…+$\frac{21-n}{2}$）+（2¹⁰+2⁹+…+${2}^{11-\frac{n}{2}}$）
=$\frac{n}{2}$•10+$\frac{1}{2}•$$\frac{n}{2}$•（$\frac{n}{2}$-1）•（-1）+$\frac{{2}^{10}（1-\frac{1}{{2}^{\frac{n}{2}}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{8}$（n²-42n）+2¹¹-${2}^{11-\frac{n}{2}}$，
则S_n+1=S_n+$\frac{21-（n+1）}{2}$=S_n+$\frac{20-n}{2}$，
当n为奇数时，S_n+1=S_n+${2}^{\frac{21-n}{2}}$，
即有S₁＜S₂＜S₃＜…＜S₂₀=S₂₁＜S₂₂＞S₂₃＞…
则S₂₂取得最大值，且为-$\frac{1}{8}$（22²-42×22）+2¹¹-1=2102．

点评 本题考查分段数列的运用，主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．