Question

7．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N₊时，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{2+1}{4}$=右边，∴左边=右边；
（2）假设当n=k时，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$．
则当n=k+1时，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）$（1-\frac{1}{（k+1）^{2}}）$=$\frac{k+1}{2k}$$•（1-\frac{1}{（k+1）^{2}}）$=$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$．
因此当n=k+1时，等式成立．
综上可得：等式对?n∈N^*（n≥2）成立．

点评 本题考查了数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．