Question

1．已知椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，其离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆mx²+ny²=1在其上一点（x₀，y₀）处的切线方程是mx₀x+ny₀y=1，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线l，F₁，F₂到l的距离分别为d₁，d₂．探究：d₁•d₂是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由；
（3）求（2）中d₁+d₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程即可得到椭圆C的标准方程；
（2）由椭圆C方程为x²+2y²=1，求得焦点，设P（s，t），则l的方程是sx+2ty=1，求出d₁•d₂，结合s²+2t²=1，即可得出结论；
（3）先化简d₁+d₂，再求d₁+d₂的取值范围．

解答 解：（1）由题意，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由于椭圆过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{1}{2}$），
则$\frac{1}{2{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，又a²-b²=c²，
解得a=1，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故所求为x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1；
（2）椭圆C方程为x²+2y²=1，即有F₁（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），F₂（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
设P（s，t），则切线l的方程是sx+2ty=1，
则d₁d₂=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}s-1|•|-\frac{\sqrt{2}}{2}s-1|}{\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}•\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}}$=$\frac{|1-\frac{1}{2}{s}^{2}|}{{s}^{2}+4{t}^{2}}$，
因为-1≤s≤1，所以1-s²＞0，
故d₁d₂=$\frac{1-\frac{1}{2}{s}^{2}}{{s}^{2}+4{t}^{2}}$，
又因为s²+2t²=1，
代入可得d₁d₂=$\frac{1}{2}$，
故d₁•d₂为定值$\frac{1}{2}$；
（3）由题d₁+d₂=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}s-1|}{\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}}$+$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}s-1|}{\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}}$
=$\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}s+1-\frac{\sqrt{2}}{2}s}{\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{{s}^{2}+4{t}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+2{t}^{2}}}$，
因为0≤t²$≤\frac{1}{2}$，所以d₁+d₂∈[$\sqrt{2}$，2]．

点评 本题考查椭圆方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．