Question

6．已知椭圆 C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为$（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$时，l的方程为$\sqrt{3}$x+2y-4=0．
（I）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM最大时k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将M点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l与椭圆方程，计算即得结论；
（ II）通过设直线l并与椭圆方程联立，利用△=0，进而可得|OM|²、|OH|²的表达式，化简即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，（*）
将$\sqrt{3}$x+2y-4=0代入椭圆C，有：
（3a²+4b²）x²-8$\sqrt{3}$a²x+16a²-4a²b²=0，
令△=0得：3a²+4b²=16，（**）
联立（*）、（**），解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（ II）设直线l：y=kx+m，M（x₀，y₀）．
将直线l的方程代入椭圆C得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
令△=0，得m²=4k²+1，且${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OM|²=$\frac{1+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又|OH|²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∴（cos∠HOM）²=$\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{（1+16{k}^{2}）（1+{k}^{2}）}$，
∵（1+16k²）（4+4k²）≤$\frac{（5+20{k}^{2}）^{2}}{4}$=$\frac{25（1+4{k}^{2}）^{2}}{4}$，
∴$\frac{（1+4{k}^{2}）^{2}}{（1+16{k}^{2}）（1+{k}^{2}）}$≥$\frac{16}{25}$，等号当且仅当k²=$\frac{1}{4}$时成立，
∴∠HOM取最大时k=±$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．