Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且M，N分别为PA与BC的中点
（1）求证：CD⊥平面PAD
（2）求证：MN∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）有题意可证明PA⊥CD，AD⊥CD，从而可证明CD⊥平面PAD．
（2）取PD的中点E，连接ME，CE，可证明MN∥CE，由于CE⊆平面PCD，MN?平面PCD，即可得证MN∥平面PCD．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD…3分
（2）取PD的中点E，连接ME，CE，
∵M，N分别为PA，BC的中点，
∴ME$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，NC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，∴ME$\stackrel{∥}{=}$NC
∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，
∵CE⊆平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．