Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂是抛物线y²=4x的焦点，过点F₂垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点 P，且与直线x=2相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点 M，使得$\overrightarrow{{M}{P}}•\overrightarrow{{M}Q}$为定值？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，由题意可得，椭圆C过点（1，±$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x₁，0）满足条件，设P（x₀，y₀），则Q（2，2k+m），联立直线l方程和椭圆方程，运用判别式为0，求得m，k的关系，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
则由题意可得，椭圆C过点（1，±$\frac{3}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x₁，0）满足条件，设P（x₀，y₀），
则Q（2，2k+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即3+4k²=m²，m≠0．
此时x₀=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=kx₀+m=$\frac{3}{m}$，则P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁，$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（2-x₁，2k+m），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-x₁）（2-x₁）+$\frac{3}{m}$（2k+m）=（4x₁-2）•$\frac{k}{m}$+x₁²-2x₁+3，
∴当4x₁-2=0即x₁=$\frac{1}{2}$时，x₁²-2x₁+3=$\frac{9}{4}$．
∴存在点M（$\frac{1}{2}$，0），使得$\overrightarrow{{M}{P}}•\overrightarrow{{M}Q}$为定值$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和点满足椭圆方程，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．