Question

12．定义在R上的非常值函数f（x）满足y=f（x+1）和y=f（x-1）都是奇函数，则函数y=f（x）一定是（　　）

• A． 偶函数
• B． 奇函数
• C． 周期函数
• D． 以上结论都不正确

Answer 1

分析 由y=f（x+1）奇函数，即有f（1-x）=-f（1+x），由y=f（x-1）是奇函数，即为f（-x-1）=-f（x-1），将x换成x-1，x+1，再将-x换成x，x换成x+2，结合周期函数的定义，即可得到结论．

解答 解：y=f（x+1）奇函数，
即有f（1-x）=-f（1+x），
将x换成x-1，即有f（2-x）=-f（x），①
y=f（x-1）是奇函数，
即为f（-x-1）=-f（x-1），
将x换成x+1，即有f（-x-2）=-f（x），②
则由①②可得，f（-x-2）=f（2-x），
即有f（x-2）=f（x+2），
将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），
即有函数f（x）是最小正周期为4的函数．
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的定义，考查赋值法的运用，考查一定的推理和分析能力，属于中档题．