Question

4．极坐标系下，P为曲线$\sqrt{2}$rsin（θ-$\frac{π}{4}$）=a（a＞0）上的动点，Q为曲线r=2sinθ上的动点，若线段PQ长度的最小值为$\sqrt{2}$-1，则a的值为$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分别化直线和圆的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离减去半径为$\sqrt{2}$-1列式求得a的值．

解答 解：由$\sqrt{2}$rsin（θ-$\frac{π}{4}$）=a，得$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}rsinθ-\frac{\sqrt{2}}{2}rcosθ）=a$，即x-y+a=0．
由r=2sinθ，得r²=rsinθ，即x²+y²-y=0，化为标准方程得：${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
由题意可知，线段PQ长度的最小值为$\frac{|a-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-1$（a＞0）．
解得：a=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．