Question

9．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1（ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）试求函数y=f（x）（x∈R）图象的对称中心坐标；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数图象的对称性求得函数y=f（x）（x∈R）图象的对称中心坐标．
（2）由f（C）=1求得C=$\frac{π}{2}$，再利用同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，求得sinA的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$，
f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，求得x=$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{4}$，故函数的图象的对称中心为（$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{4}$，-1），k∈z．
（2）由f（C）=2sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）-1=1，可得sin（$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$）=1．
由C∈（0，π），可得$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），∴$\frac{2}{3}$C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，求得C=$\frac{π}{2}$．
再由2sin²B=cosB+cos（A-C），可得2sin²B=cosB+sinA，即 2cos²A=sinA+sinA，
∴cos²A=sinA，∴1-sin²A=sinA，求得sinA=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、图象的对称性，同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于中档题．