Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，四个顶点所围成的菱形的面积为8$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+m与椭圆C交于两个不同的点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），O为坐标原点，且k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，求y₁y₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y₁y₂的范围．

解答 解：（1）由已知可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=8$\sqrt{2}$，
又a²=b²+c²，
解得c=2，b=2，a²=8．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x₁，x₂）和B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，化为8k²+4＞m²，①
∴x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∵满足k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴y₁y₂=-$\frac{1}{2}$x₁x₂=-$\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴4k²+2=m²，
即有y₁y₂=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{2+4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$-2，
则y₁y₂∈（-2，2]．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．