Question

8．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过A于AF₂垂直的直线交x轴于Q点，且$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q，F₁三点的圆恰好与直线x+$\sqrt{3}$y+10=0相切，求椭圆C的方程；
（3）过F₁的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，可知F₁为F₂Q中点，进一步得到F₁为△AQF₂的外接圆圆心，得到a=2c，从而求得椭圆C的离心率；
（2）由△AQF₂的外接圆圆心为（-c，0），半径r=a，结合圆与直线x+$\sqrt{3}$y+10=0相切列式求得a值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（3）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，设△F₂MN的内切圆的半径为r，则${S}_{△{F}_{2}MN}$=$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₂|+|NF₂|）r=8r，当△F₂MN最大时，r也最大，△F₂MN的内切圆的面积也最大，然后利用换元及导数求出直线l的方程是x=-2．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，知：F₁为F₂Q中点．
又∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}⊥\overrightarrow{AQ}$，∴|F₁Q|=|F₁A|=|F₁F₂|，即F₁为△AQF₂的外接圆圆心，
而|F₁A|=a，|F₁F₂|=2c，∴a=2c，则椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）又△AQF₂的外接圆圆心为（-c，0），半径r=a，
且圆与直线x+$\sqrt{3}$y+10=0相切，
∴$\frac{|-c+10|}{2}=a$，解得a=4，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
设△FMN的内切圆的半径为r，
则${S}_{△{F}_{2}MN}$=$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₂|+|NF₂|）r=8r，
当△F₂MN最大时，r也最大，△F₂MN的内切圆的面积也最大，
∵${S}_{△{F}_{2}MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁|+$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₂|，|F₁F₂|=2c=4，
∴${S}_{△{F}_{2}MN}$=2（|y₁|+|y₂|）=y₁-y₂．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²-12my-36=0，
则△=（-12m）²+4×36（3m²+4）＞0恒成立，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-36}{3{m}^{2}+4}$，
∴${y}_{1}-{y}_{2}=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{12m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{4×36}{3{m}^{2}+4}}$=$\frac{24\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
∴${S}_{△{F}_{2}MN}=\frac{1}{2}×4×\frac{24\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}=\frac{48\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
设$\sqrt{{m}^{2}+1}=t$，则t≥1，且m²=t²-1，
∴${S}_{△{F}_{2}MN}$=$\frac{48t}{3{t}^{2}+1}$，设f（t）=$\frac{48t}{3{t}^{2}+1}$，则f′（t）=$\frac{48-144{t}^{2}}{（3{t}^{2}+1）^{2}}$，
∵t≥1，∴f'（t）＜0，
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴f（t）_max=f（1）=12，即${S}_{△{F}_{2}MN}$的最大值是12．
∴8r≤12，r≤$\frac{3}{2}$，即r的最大值是$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△{F}_{2}MN}$的内切圆的面积的最大值是$\frac{9}{4}π$，
此时m=0，直线l的方程是x=-2．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了换元法和利用导数求函数的最值，是压轴题．