Question

19．若A（1，4），B（-3，1），过点B的直线l与点A的距离为d．
（1）d的取值范围为0≤d≤0；
（2）当d取最大值时，直线l的方程为4x+3y+9=0；
（3）当d=4时，直线l的方程为x=-3或7x+24y-3=0．

Answer 1

分析 （1）求出|AB|的值，即可得出过点B的直线l与点A的距离d的取值范围；
（2）d取最大值时AB⊥l，求出k_AB，再求直线l的方程；
（3）d=4时，所求直线l有2条，设出l的方程，利用距离公式求出即可．

解答 解：（1）∵A（1，4），B（-3，1），∴|AB|=$\sqrt{{（1+3）}^{2}{+（4-1）}^{2}}$=5，
∴过点B的直线l与点A的距离d的取值范围是0≤d≤5；
（2）当d取最大值5时，AB⊥l，
∵k_AB=$\frac{1-4}{-3-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为 y-1=-$\frac{4}{3}$（x+3），
化为一般方程是4x+3y+9=0；
（3）当d=4时，设直线l的方程为y-1=k（x+3），
即kx-y+3k+1=0，
∴点A（1，4）到直线l的距离为
d=$\frac{|k-4+3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，
解得k=-$\frac{7}{24}$，
此时直线方程为7x+24y-3=0；
又当斜率k不存在时，直线x=-3也满足A（1，4）到直线l的距离d=4；
综上，所求的直线方程为x=-3或7x+24y-3=0．
故答案为：（1）0≤d≤5，（2）4x+3y+9=0，（3）x=-3或7x+24y-3=0．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了直线垂直、点到直线的距离的应用问题，是基础题目．