Question

4．已知数列{a_n}中，1＜a₁＜2，a_n+1=1+a_n-$\frac{1}{2}$a_n²（n∈N^*）．求证：
（1）a₃∈（$\frac{11}{8}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）当n≥3时，|a_n-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）运用配方，结合二次函数的最值求法，求得a₂的范围，进而得到a₃的范围；
（2）运用数学归纳法证明，先证n=3，4成立，再假设n=k成立，证明n=k+1，也成立，注意运用二次函数的值域求法和不等式的性质．

解答 证明：（1）由1＜a₁＜2，a_n+1=1+a_n-$\frac{1}{2}$a_n²（n∈N^*）
=-$\frac{1}{2}$（a_n-1）²+$\frac{3}{2}$，
即有a₂=-$\frac{1}{2}$（a₁-1）²+$\frac{3}{2}$，在（1，2）递减，
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$＜a₂＜$\frac{3}{2}$，即1＜a₂＜$\frac{3}{2}$，
又a₃=-$\frac{1}{2}$（a₂-1）²+$\frac{3}{2}$，在（1，$\frac{3}{2}$）递减，
则$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$，即$\frac{11}{8}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$；
（2）运用数学归纳法证明．
当n=3时，$\frac{11}{8}$＜a₃＜$\frac{3}{2}$，即有|a₃-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{8}$，成立，
当n=4时，a₄=-$\frac{1}{2}$（a₃-1）²+$\frac{3}{2}$，在（$\frac{11}{8}$，$\frac{3}{2}$）递减，
即有$\frac{11}{8}$＜a₄＜$\frac{183}{128}$，即有|a₄-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{16}$，成立，
假设n=k（k≥3），|a_k-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k}}$．
当n=k+1时，a_k+1=-$\frac{1}{2}$（a_k-1）²+$\frac{3}{2}$，
由$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$＜a_k＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$，
可得$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＜a_k+1＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²，
要证|a_k+1-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k+1}}$等价为$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$＜a_k+1＜$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²-（$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$）=$\frac{3-2\sqrt{2}}{{2}^{k+1}}$-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$
=$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$•$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$（2^k-3-2$\sqrt{2}$）＞0，
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＞（$\sqrt{2}-\frac{1}{{2}^{k+1}}$）；
$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²-（$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$）=$\frac{2\sqrt{2}-3}{{2}^{k+1}}$-$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$＜0恒成立．
即有$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{{2}^{k}}$-1）²＜（$\sqrt{2}+\frac{1}{{2}^{k+1}}$）．
则有当n=k+1时，|a_k+1-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{k+1}}$成立．
综上可得，当n≥3时，|a_n-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查不等式的证明，同时考查二次函数的最值求法，运用数学归纳法证明是解题的关键，属于中档题．