Question

1．从圆（x-2）²+（y-3）²=1外一点p（a，b）引此圆的一条切线，其切点为Q．
（1）若p点到Q和原点的距离相等，求a，b的关系式．
（2）在条件（1）下，求出使得切线长pQ为最小的点p的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，结合两点间的距离公式，可以得到关于a，b的关系式；
（2）由（1）可知，点P的轨迹是一条直线，则问题转化为直线上的点到原点距离最小的问题求解即可．

解答 解：（1）由题意设P（a，b），则由已知得：
a²+b²=（a-2）²+（b-3）²-1，整理得2a+3b-6=0．
（2）由（1）知P的轨迹为直线l：2x+3y-6=0．
因为|PQ|=|PO|，所以只需|PO|最小即可．
则当PO⊥l时，|PO|最小，所以${k}_{PO}=-\frac{1}{{k}_{l}}=\frac{3}{2}$．
所以PO方程为y=$\frac{3}{2}x$．联立2x+3y-6=0．
解得P（$\frac{12}{13}，\frac{18}{13}$）．

点评 本题重点考查了直线与圆的方程的应用，以及数形结合的思想．更要注意转化思想在本题中的应用．