Question

10．已知直线l经过点A（0，3）与曲线y=$\frac{1}{{x}^{2}}$相切，且斜率为正值，则l的方程为y=2x+3．

Answer 1

分析 设出切点，求出导数，求出切线的直线方程，代入点A的坐标，求得切点，即可得到切线方程．

解答 解：设切点为（m，n），则n=$\frac{1}{{m}^{2}}$，①
又y=$\frac{1}{{x}^{2}}$的导数为y′=-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
即有切线斜率为k=$\frac{-2}{{m}^{3}}$（m＜0），
切线方程为y-n=$\frac{-2}{{m}^{3}}$（x-m），
代入点A（0，3），可得
3-n=$\frac{2m}{{m}^{3}}$，②
由①②可得m=-1，n=1，
则直线l的方程为y=2x+3．
故答案为：y=2x+3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义和直线的方程的几种形式，设出切点是解题的关键．