Question

18．2011年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%．
（1）求哪一年两林场木材的总存量相等；
（2）问两林场木材的总量到2015年能否翻一番．

Answer 1

分析 （1）由题意可知甲、乙两林场每年的森林木材存量均成等比数列，且公比分别为1+25%和1-20%，于是根据等比数列的通项公式，便可建立函数模型；
（2）在函数解析式中取n=5，得到y＜2（16a+25a），由此可得结论．

解答 解：（1）由题意，设y为第n年两林场木材的总存量，
则y=16a（1+25%）^n-1+25a（1-20%）^n-1=16a（$\frac{5}{4}$）^n-1+25a（$\frac{4}{5}$）^n-1≥2$\sqrt{16a（\frac{5}{4}）^{n-1}•25a（\frac{4}{5}）^{n-1}}$=40a．
当且仅当16a（$\frac{5}{4}$）^n-1=25a（$\frac{4}{5}$）^n-1，即n=2时y有最小值为40a．
故2012年两林场木材的总量最少，最少为40a；
（2）令n=5，有y=16a（$\frac{5}{4}$）⁴+25a（$\frac{4}{5}$）⁴=（$\frac{625}{16}+\frac{256}{25}$）a＜2（16a+25a）．
故2015年时不能翻一番．

点评 本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，关键是建模思想的应用，是中档题．