Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+2}，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-2x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，若f（2m-1）＜$\frac{1}{2}$，则m的取值范围是（　　）

• A． m$＞\frac{1}{2}$
• B． m$＜\frac{1}{2}$
• C． 0≤m$＜\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}＜m≤1$

Answer 1

分析 对m讨论，当0≤m≤$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$＜m≤1时，运用分段函数的解析式，结合分式不等式和二次不等式的解法，最后求并集即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+2}，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-2x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
若f（2m-1）＜$\frac{1}{2}$，则
当-1≤2m-1≤0即为0≤m≤$\frac{1}{2}$时，
$\frac{1}{2m+1}$＜$\frac{1}{2}$，解得m＞$\frac{1}{2}$，即为m∈∅；
当0＜2m-1≤1，即为$\frac{1}{2}$＜m≤1时，
（2m-1）²-2（2m-1）＜$\frac{1}{2}$，
解得1-$\frac{\sqrt{6}}{4}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{4}$，即有$\frac{1}{2}$＜m≤1．
综上可得，m的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m≤1．
故选D．

点评 本题考查分段函数及运用，主要考查二次不等式的解法，运用分类讨论思想方法是解题的关键．