Question

16．已知a、b、c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
（1）（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc；
（2）（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）；
（3）（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8；
（4）$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥1．

Answer 1

分析 （1）由a、b、c∈R⁺，a+b+c=1，可得（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b），利用基本不等式的性质即可证明；
（2）变形（1+a）（1+b）（1+c）=[（a+b）+（a+c）][（a+b）+（b+c）]）=[（a+c）+（b+c）]，利用基本不等式的性质即可证明；
（3）（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8?（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，由（1）即可证明；
（4）由a、b、c∈R⁺，a+b+c=1．可得b²c²+a²c²+a²b²≥a²bc+ab²c+abc²=abc（a+b+c），即可证明．

解答 证明：（1）∵a、b、c∈R⁺，a+b+c=1，
∴（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b）≥$2\sqrt{bc}$×$2\sqrt{ac}$×$2\sqrt{ab}$=8abc，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc；
（2）∵a、b、c∈R⁺，
∴（1+a）（1+b）（1+c）=[（a+b）+（a+c）][（a+b）+（b+c）]）=[（a+c）+（b+c）]
≥$2\sqrt{（a+b）（a+c）}$×$2\sqrt{（a+b）（b+c）}$×2$\sqrt{（a+c）（b+c）}$
=8（a+b）（a+c）（b+c）
=8（1-a）（1-b）（1-c）；
∴（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）成立；
（3）（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8?（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，由（1）可知成立；
（4）∵a、b、c∈R⁺，a+b+c=1．
∴b²c²+a²c²+a²b²≥a²bc+ab²c+abc²=abc（a+b+c）=abc，
∴$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥1．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．