Question

6．已知函数f（x）=|lnx+$\frac{a}{lnx}$|（a∈R）在区间[e，e^e]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．

解答 解：函数f（x）=|lnx+$\frac{a}{lnx}$|在区间[e，e^e]上单调递增，令t=lnx，则函数化为：y=|t+$\frac{a}{t}$|，t∈[1，e]．
当a＞0时，函数y=|t+$\frac{a}{t}$|=t+$\frac{a}{t}$，
则函数的导数y′=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，y′≥0恒成立，
即a≤（t²）_min=1，故a∈（0，1]此时函数单调递增，
当a=0时，函数f（x）=|lnx|在区间[e，e^e]上单调递增，满足条件．
当-e²≤a＜0时，函数f（x）=|t+$\frac{a}{t}$|=t+$\frac{a}{t}$，要求在区间[1，e]上单调递增，
因为y′=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，y′＞0恒成立，-e²≤a＜0函数是增函数；
当a＜-e²时，函数f（x）=|t+$\frac{a}{t}$|=-t-$\frac{a}{t}$，
y′=-1+$\frac{a}{{t}^{2}}$=-$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$在[1，e]，y′＞0恒成立，a＜-e²函数是增函数；
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]
故选：D．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分类讨论，结合函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合考查导数的应用．