Question

20．已知圆O：x²+y²=2．
（1）求与圆O相切且与直线x+2y=0垂直的直线方程；
（2）若EF，GH为圆O：x²+y²=2的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求四边形EFGH的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论；
（2）设EF，GH相交于M，圆心O到EF，GH的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$，代入面积公式SS=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|，使用基本不等式求出四边形EFGH的面积的最大值．

解答 解：（1）设直线方程为2x-y+c=0，则
圆心到直线的距离为$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}$，∴$c=\sqrt{10}$，
∴与圆O相切且与直线x+2y=0垂直的直线方程为2x-y±$\sqrt{10}$=0；
（2）设EF，GH相交于M，圆心O到EF，GH的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=$\frac{3}{2}$．
四边形ABCD的面积为：S=$\frac{1}{2}$•|EF||GH|=2$\sqrt{（2-{{d}_{1}}^{2}）（2-{{d}_{2}}^{2}）}$≤4-（d₁²+d₂²）=2.5，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，即四边形EFGH的面积的最大值为2.5．

点评 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．