Question

3．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2\sqrt{2}≥0}\\{x≤2\sqrt{2}}\\{y≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x²+y²=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，
则P到圆心的距离最小即可，
由图象可知当OP垂直直线x+y-2$\sqrt{2}$=0，此时|OP|=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，|OA|=1，
设∠APB=α，则sin$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{α}{2}$=$\frac{π}{6}$
此时cosα=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{3}•\sqrt{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．