Question

6．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦点，且以$x+\sqrt{2}y=0$为其一条渐近线，则双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，过其右焦点且长为4的弦有3条．

Answer 1

分析 利用已知条件求得双曲线方程，求弦长为4时可先寻找临界的直线，一条平行x轴，一条垂直x轴．

解答 解：由双曲线与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$有相同的焦点，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1$，
以$x+\sqrt{2}y=0$为其一条渐近线，所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，①6=a²+b²②，
由①②解得：a²=4，b²=2．
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
右焦点坐标为（$\sqrt{6}，0$），当过右焦点的直线垂直x轴时，代入双曲线方程得y=±1，即弦长为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，
加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；3

点评 本题主要考查双曲线方程得求解方法和求定长的弦长的个数，属于中档题，在选择题填空题中常涉及．