Question

17．在四面体ABCD中，棱长AB=$\sqrt{5}$，其余棱长都是$\sqrt{3}$，求这个四面体的体积以及其外接球的半径．

Answer 1

分析 由题意画出图形，取CD中点G，把四面体体积转化为两个三棱锥D-ABG、C-ABG的体积求解；由题目所给四面体的对称性及其外接球的对称性可知取AB中点Q，连接GQ，由对称性可知，四面体ABCD外接球的球心O在GQ上，由于勾股定理，计算即可得到半径R．

解答 解：如图，取CD中点G，∵△ACD、△BCD都是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴AG=BG=$\frac{3}{2}$，
在等腰三角形AGB中，又AB=$\sqrt{5}$，∴G到AB的距离为$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=1$，
则${S}_{△AGB}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴${V}_{ABCD}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{15}}{6}$；
取AB中点Q，连接GQ，
由对称性可知，四面体ABCD外接球的球心O在GQ上，
由勾股定理可得$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
解得R=$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，训练了正弦定理和余弦定理的应用，是中档题．