Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）的准线方程为y=-$\frac{1}{2}$，过点M（4，0）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O），直线l过点M与抛物线交于两点P、Q，与直线OA交于点N．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问$\frac{|MN|}{|MP|}+\frac{|MN|}{|MQ|}$的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程；
（2）求出函数的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线PQ的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的纵坐标，代入所求式子化简即可得到定值2．

解答 解：（1）由题设知，-$\frac{p}{2}$=-$\frac{1}{2}$，即p=1，
所以抛物线的方程为x²=2y；
（2）因为函数$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$的导函数为y′=x，
设A（x₀，y₀），则直线MA的方程为y-y₀=x₀（x-x₀），
点M（4，0）在直线MA上，所以0-y₀=x₀（4-x₀），
联立直线与抛物线方程，解得A（8，32），
所以直线OA的方程为y=4x． 
设直线PQ方程为x=my+4，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立直线与抛物线方程，得m²y²+（8m-2）y+16=0，
所以y₁+y₂=-$\frac{8m-2}{{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{16}{{m}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{x=my+4}\end{array}\right.$，得y_N=$\frac{16}{1-4m}$．
所以$\frac{|MN|}{|MP|}+\frac{|MN|}{|MQ|}$=$\frac{{y}_{N}}{{y}_{1}}+\frac{{y}_{N}}{{y}_{2}}$=$\frac{16}{1-4m}$•$\frac{-\frac{8m-2}{{m}^{2}}}{\frac{16}{{m}^{2}}}$=2为定值．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题．