Question

7．已知平面上的动点P（x，y）及两定点M（-2，0）、N（2，0），直线PM、PN的斜率之积为定值$-\frac{3}{4}$，设动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）（y₀＞0）是曲线C上一动点，过Q作两条直线l₁，l₂分别交曲线C于A，B两点，直线l₁与l₂的斜率互为相反数．试问：直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用直线的斜率公式，化简整理可得曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-k，设l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得A的横坐标，同理可得B的横坐标，由直线的斜率公式可得AB的斜率，再由椭圆上一点的切线的斜率，即可得到定值0．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得x≠±2，k_PM=$\frac{y}{x+2}$，k_PN=$\frac{y}{x-2}$，
由题意可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{3}{4}$，
化简可得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-k，
设l₁：y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程可得
（3+4k²）x²+8k（y₀-kx₀）x+4（kx₀-y₀）²-12=0，
x₀x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，可得x_A=$\frac{4（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
同理可得x_B=$\frac{4（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}-12}{（3+4{k}^{2}）{x}_{0}}$，
又3x₀²+4y₀²=12，
k_AB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k（{x}_{A}-{x}_{0}）+k（{x}_{B}-{x}_{0}）}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k[（{x}_{A}+{x}_{B}）-2{x}_{0}]}{{x}_{A}-{x}_{B}}$，
代入A，B的横坐标，可得k_AB=$\frac{k（4{{y}_{0}}^{2}-12-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{k（-3{{x}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}）}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
对$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）两边对x求导，可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{3}$y•y′=0，
可得曲线在Q点处的切线的斜率为-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，
即有直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和为定值，且为0．

点评 本题考查轨迹方程的求法，同时考查椭圆的方程和直线方程联立，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式和导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．