Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为等边三角形，D为AC的中点，AA₁=AB=6．
（Ⅰ）求证：直线AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（Ⅲ）求三棱锥C-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点，证明：A₁B∥OD，即可证明直线AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）证明BD⊥平面ACC₁A₁，即可证明：平面BC₁D⊥平面ACC₁A；
（Ⅲ）利用${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$，求三棱锥C-BC₁D的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接B₁C交BC₁于点O，连接OD，则点O为B₁C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB₁C中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面AB₁C，A₁B?平面AB₁C，
∴直线AB₁∥平面BC₁D；…（4分）
（Ⅱ） 证明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点，
∴BD⊥AC
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面BC₁D，∴平面 BC₁D⊥平面ACC₁A；…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3$\sqrt{3}$
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}•\frac{9\sqrt{3}}{2}•6$=9$\sqrt{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行，平面与平面垂足，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．