Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）设定义在[0，1]上的函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x（t∈R）的最大值为M，最小值为N，且M＞2N，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得单调区间，由极值的定义，即可得到极大值；
（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）_min＜g（x）_max，研究g（x）在[0，1]上单调性，用t表示出g（x）在[0，1]上的最值，解相关的关于t的不等式求出范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）递增．
即有x=0处，f（x）取得极大值，且为f（0）=1；
（Ⅱ）由M＞2N即2g（x）_min＜g（x）_max，
∵g（x）=xf（x）+tf′（x）+e^-x=$\frac{{x}^{2}+（1-t）x+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-（x-t）（x-1）}{{e}^{x}}$，
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴2g（1）＜g（0），即2•$\frac{3-t}{e}$＜1，得t＞3-$\frac{e}{2}$＞1．
②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增．
∴2g（0）＜g（1），即2＜$\frac{3-t}{e}$，得t＜3-2e＜0，
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增．
∴2g（t）＜max{ g（0），g（1）}，
即2•$\frac{1+t}{{e}^{t}}$＜max{ 1，$\frac{3-t}{e}$}（*）
由（Ⅰ）知，f（t）=2•$\frac{1+t}{{e}^{t}}$在[0，1]上单调递减，
故2•$\frac{1+t}{{e}^{t}}$≥2•$\frac{2}{e}$=$\frac{4}{e}$，
∴所以不等式（*）无解，
综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-$\frac{e}{2}$，+∞），使命题成立．

点评 本题考查的知识点是导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用函数的单调性研究函数的最值，其中运用分类讨论是解答此类问题的关键，属于难题．