Question

14．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设过点F₁且斜率为-1的直线与椭圆交于第二象限的P点，过P、B、F₁三点的圆为⊙M．是否存在过原点的定直线l与⊙M相切？并请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|得，a²+b²=3c²，又b²=a²-c²，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）确定PB为圆M的直径，假设过原点O的直线l的斜率为k，则方程为y=kx，利用l与圆M相切，求出k，即可求出结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆右焦点F₂（c，0）．
由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|得，a²+b²=3c²，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴椭圆的离心率为e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$     …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²=2c²，b²=c²，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$…（4分）
∵过点F₁且斜率为-1的直线与椭圆交于第二象限的P点，
∴由直线代入椭圆方程，解得P（-$\frac{4c}{3}$，$\frac{c}{3}$），
又F₁（-c，0），B（0，c），…（6分）
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（-$\frac{c}{3}$，$\frac{c}{3}$），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（c，c），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
∴PB为圆M的直径，
即圆心M（-$\frac{2c}{3}$，$\frac{2c}{3}$），半径r=$\frac{1}{2}$|PB|=$\frac{\sqrt{5}c}{3}$，…（10分）
假设过原点O的直线l的斜率为k，则方程为y=kx，
若l与圆M相切，则$\frac{|-\frac{2ck}{3}-\frac{2c}{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}c}{3}$，整理得k²-8k+1=0，
解得：k=4±$\sqrt{15}$，…（11分）
∴存在过原点的定直线l，方程为：y=（4±$\sqrt{15}$）x，与圆M相切．…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．