Question

2．如图，已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距为2c（c＞0），其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{a^2}{c}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别交椭圆M于E，F两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到；
（2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点E，F的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
则椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由B（0，1），C（0，-1），T（t，2），
则直线TB：y=$\frac{1}{t}$x+1，代入椭圆方程可得${x}_{F}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，直线TC方程为：y=$\frac{3}{t}x-1$，
联立椭圆解得${x}_{F}=\frac{24t}{{t}^{2}+36}$$k=\frac{{S}_{△TBC}}{{S}_{△TEF}}=\frac{\frac{1}{2}TB×TC×sin∠BTC}{\frac{1}{2}TE×TF×sin∠ETF}$
=$\frac{TB×TC}{TE×TF}=\frac{TB}{TE}×\frac{TC}{TF}=\frac{{x}_{T}-{x}_{B}}{{x}_{T}-{x}_{E}}×\frac{{x}_{T}-{x}_{C}}{{x}_{T}-{x}_{F}}$
=$\frac{t}{t+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}×\frac{t}{t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}}=\frac{（{t}^{2}+4）（{t}^{2}+36）}{（{t}^{2}+12）（{t}^{2}+12）}$
令t²+12=m＞12，则$k=\frac{（m-8）（m+24）}{{m}^{2}}=1+\frac{16}{m}-\frac{192}{{m}^{2}}≤\frac{4}{3}$
当且仅当m=24，即t=$±2\sqrt{3}$等号成立，所以k的最大值为$\frac{4}{3}$

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．