Question

7．已知f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1），若y=|f（x）-b+$\frac{1}{b}$|-3有4个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 求导函数，即可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．先判断函数f（x）的极小值，再由函数有四个零点，进行等价转化方程有解问题，去掉绝对值，变成两个方程，即可解出b的范围．

解答 解：∵f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
∴求导函数，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
同理函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）_min=f（0）=1，
由|f（x）-b+$\frac{1}{b}$|-3=0，
得：f（x）=b-$\frac{1}{b}$+3，或f（x）=b-$\frac{1}{b}$-3，
∵函数y=|f（x）-b+$\frac{1}{b}$|-3有四个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{1}{b}+3＞1}\\{b-\frac{1}{b}-3＞1}\end{array}\right.$，
∴b-$\frac{1}{b}$＞4，
解得：b＞2+$\sqrt{5}$，2-$\sqrt{5}$＜b＜0，
∴b的范围是（2-$\sqrt{5}$，0）∪（2+$\sqrt{5}$，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用导数确定函数的最值．