Question

10．设M，?＞0，|x-a|＜$\frac{?}{2}$，|y-b|＜$\frac{?}{2}$，|a|≤M，|y|≤M，求证：|xy-ab|＜M?．

Answer 1

分析 由条件、以及|xy-ab|=|y（x-a）+a（y-b）|，再利用三角不等式证得结论．

解答 证明：∵|x-a|＜$\frac{?}{2}$，|y-b|＜$\frac{?}{2}$，|a|≤M，|y|≤M，（M，?＞0），
∴|xy-ab|=|y（x-a）+a（y-b）|≤|y（x-a）|+|a（y-b）|，
而|y（x-a）|+|a（y-b）|=|y|•|x-a|+|a|•|y-b|≤M•$\frac{?}{2}$+M•$\frac{?}{2}$=M?，
∴|xy-ab|＜M?．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，利用|xy-ab|=|y（x-a）+a（y-b）|，是证题的关键，属于中档题．