Question

1．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n（n∈N^*），且a₄=28，则首项a₁=1，通项公式a_n=（2n-1）n．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，进行转化变形，构造等差数列即可得到结论．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n（n∈N^*），得a_n+1+a_n-1=na_n+1-na_n+n，
即（1-n）a_n+1+（1+n）a_n=1+n，
a_n+1=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-$\frac{n+1}{n-1}$a_n=$\frac{1}{n-1}$（a_n-1）×（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{n-1}$•a_n-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{n}{n-1}$•$\frac{1}{n}$，
则$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-1=$\frac{n}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1），
即$\frac{1}{n}$•（$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-1）=$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1），
即{$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）}为常数列，
∵a₄=28，
∴$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）=$\frac{1}{4-1}•（\frac{{a}_{4}}{4}-1）$=$\frac{1}{3}•（\frac{28}{4}-1）$=$\frac{1}{3}×6=2$，
即$\frac{1}{n-1}$•（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1）=2，
整理得a_n=（2n-1）n，则a₂=6，
当n=1时，$\frac{{a}_{2}+{a}_{1}-1}{{a}_{2}-{a}_{1}+1}=1$，即a₂+a₁-1=a₂-a₁+1，
即a₁=1，满足a_n=（2n-1）n，
故通项公式a_n=（2n-1）n，
故答案为：1，（2n-1）n

点评 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题得关键是利用递推公式构造特殊数列．综合性较强，难度较大．