Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，由题意可得b=c，结合椭圆的a，b，c的关系，解方程可得b，c，进而得到圆和椭圆的方程；
（Ⅱ）方法一：设出P的坐标，得到Q的坐标，代入圆和椭圆方程，由AP和BP的方程，求得M，N的坐标，再由向量QM，QN，运用数量积的坐标表示，即可证得∠MQN为定值．
方法二、设P（x₀，y₀），AP：y=k（x+2）（k≠0）．联立椭圆方程，求得P的坐标，进而得到Q，M的坐标，再由BP的方程得到N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）依题意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ c=b\\{a^2}-{b^2}={c^2}.\end{array}\right.$解得：a=2，$b=c=\sqrt{2}$．
所以圆O的方程为x²+y²=2，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）证法一：如图所示，设P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=1\\ x_Q^2+y_0^2\;\;=2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x_0^2=4-2y_0^2\\ x_Q^2=2-y_0^2.\end{array}\right.$，
又由$AP：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$得$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
由$BP：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$得$N（0，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=x_Q^2+\frac{x_0^2y_0^2}{x_0^2-4}=2-y_0^2+\frac{（4-2y_0^2）y_0^2}{-2y_0^2}=0$．
所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．
（Ⅱ）证法二：如图所示，设P（x₀，y₀），AP：y=k（x+2）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（x+2）\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-4=0．
所以 $-2{x_0}=\frac{{8{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，即${x_0}=\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$．
所以 ${y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，即$P（\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{4k}{{2{k^2}+1}}）$．
所以 直线BP的斜率为$\frac{{\frac{4k}{{2{k^2}+1}}}}{{\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}-2}}=-\frac{1}{2k}$．
所以 $BP：y=-\frac{1}{2k}（x-2）$．
令x=0得：M（0，2k），$N（0，\frac{1}{k}）$．
设Q（x_Q，y₀），则$\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，2k-{y_0}）$，$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，\frac{1}{k}-{y_0}）$．
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=x_Q^2+（2k-{y_0}）（\frac{1}{k}-{y_0}）=x_Q^2+y_0^2+2-\frac{{2{k^2}+1}}{k}•{y_0}$．
因为 $x_Q^2+y_0^2=2，{y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，
所以 $\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$．
所以 QM⊥QN，即∠MQN=90°．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．