Question

3．如图，已知⊙M：（x-4）²+y²=1和抛物线C：y²=2px（p＞0，其焦点为F），且$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{15}{4}$，0，），过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线AB在y轴上的截距的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和圆的圆心，由条件可得圆心M到抛物线C的焦点的距离为$\frac{15}{4}$，即可得到抛物线方程；
（2）设出H的坐标，由中点坐标公式和直径式圆的方程可得MH为直径的圆，运用和已知圆相减，可得AB的方程，再令x=0，可得截距的表达式，由函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）由题意知⊙M的圆心M的坐标为（4，0），
抛物线C的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{15}{4}$，0），
圆心M到抛物线C的焦点的距离为$\frac{15}{4}$，即4-$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
从而抛物线C的方程为y²=x；
（2）由（1）知，设点H （y₀²，y₀），
则HM的中点（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
以HM为直径的圆为（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{0}}{2}$）²=$\frac{（{{y}_{0}}^{2}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$…①
⊙M：（x-4）²+y²=1 …②
①-②得：直线AB的方程为（4-y₀²）x-y₀y+4y₀²-15=0，
令x=0，得直线AB在y轴上的截距为d=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-15}{{y}_{0}}$=4y₀-$\frac{15}{{y}_{0}}$（y₀≥1）
函数f（y₀）=4y₀-$\frac{15}{{y}_{0}}$在[1，+∞）为单调递增函数，
∴直线AB在y轴上的截距的最小值为4×1-$\frac{15}{1}$=-11．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程的运用，同时考查圆的方程的运用，由四点共圆和两元方程相减得到相交弦方程是解题的关键，属于中档题．