Question

1．若G是△ABC的重心，且$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，则角A=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，由$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，知（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．因为$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，所以a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出∠A．

解答 解：根据重心性质可知：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$a\overrightarrow{G{A}}+b\overrightarrow{G{B}}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}c\overrightarrow{GC}=\vec 0$，
∴（a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GA}$+（b-$\frac{\sqrt{3}}{3}$c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{GB}$不共线，
∴a=b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=30°．
故选A．

点评 本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，利用和角的正切公式，属于中档题．