Question

12．已知函数f（x）=-sin2x-$\sqrt{3}$（1-2sin²x）+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的单调性和值域之间的关系即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-sin2x-$\sqrt{3}$（1-2sin²x）+1=-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1       …（3分）
原函数的单调减区间即是函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的单调增区间      …（5分）
由正弦函数的性质知，函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）为单调增函数，
就是函数f（x）的单调减区间，
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z时，
所以函数f（x）的单调减区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．         …（7分）
（Ⅱ）因为x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，所以2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，…（8分）
所以sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]…（10分）
所以f（x）的值域为[-1，1]．                    …（12分）

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．