Question

4．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列
{b_n}，可以推测：
（Ⅰ）b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第5035项；
（Ⅱ） b_2n-1=$\frac{1}{2}$5n（5n-1）．（用n表示）

Answer 1

分析 先归纳出数列a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，然后写出：
b₁=a₄，b₂=a₅，
b₃=a₉，b₄=a₁₀，
b₅=a₁₄，b₆=a₁₅，
…
再归纳出b_2n=a_5n，b_2n-1=a_5n-1．

解答 解：显然a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，数列a_n中是5的倍数要么n+1是5的倍数，要么n是5的倍数，
b₁=a₄，b₂=a₅，
b₃=a₉，b₄=a₁₀，
b₅=a₁₄，b₆=a₁₅，
…
∴b_2n=a_5n，b_2n-1=a_5n-1，
∴b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第2014÷2×5=5035项．
∴b_2n-1=$\frac{5n（5n-1）}{2}$．

点评 本题主要考查归纳推理的思维能力．