Question

7．以下五个命题：
①“事件A，B是互斥事件”是“事件A，B是对立事件”的充分不必要条件；
②设y=f（x）是R上的任意函数，则函数h（x）=f（x）-f（-x）是偶函数；
③函数f（x）=2^x+x³-2在区间（0，1）内有一个零点；
④若$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1（x，y∈R⁺），则x+y的最小值为12；
⑤若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”；若{a_n}是公比为q的无穷等比数列，则“S₁与S₂”与“q与a_n”（其中n为大于1的整数，S_n为{a_n}的前n项和）均为数列{a_n}的“基量”．
其中的真命题对应的序号为③⑤．

Answer 1

分析 ①注意互斥事件不一定对立，对立事件一定是互斥事件．
②由于函数的定义域都是R，故只看f（-x）与f（x）的关系，再根据奇函数、偶函数的定义作出判断．
③根据函数f（x）=2^x+x³-2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点．
④利用基本不等式的性质即可得出．
⑤由通项公式，数列{a_n} 能够确定，从而可判断．

解答 解：①，由“A，B是互斥事件”不一定有“A，B是对立事件”，
反之，由“A，B是对立事件”一定有“A，B是互斥事件”，
所以命题“A，B是互斥事件”是命题“A，B是对立事件”的必要不充分条件，所以命题①不正确；
②，h（x）=f（x）-f（-x），h（-x）=f（-x）-f（x）=-h（x），故为奇函数，故②不正确．
③，由于函数f（x）=2^x+x³-2在区间（0，1）内单调递增，
又f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，
故函数f（x）=2^x+x³-2在区间（0，1）内有唯一的零点，故③正确．
④∵x，y∈R⁺，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$$+\frac{9x}{y}$≥10+$2\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{9x}{y}}$=10+6=16，
当且仅当x=4，y=12时，取等号．∴x+y的最小值为16．故④不正确．
⑤：对“S₁和S₂”，可知a₁和a₂．由 $\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$可得公比q，故能确定是该数列的“基量”；
对“q与a_n”，由{a_n}是等比数列得a_n=a₁q^n-1，故数列{a_n} 能够确定是数列{a_n} 的一个“基量”；故⑤正确．
故答案为：③⑤

点评 本题考查了命题的真假的判断，考查了全称命题的否定的格式，考查了充要条件判断的方法，函数的奇偶性的判断方法，函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，是中档题型．