Question

20．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，n∈N⁺．
（Ⅰ）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意化简递推公式后，代入$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}$化简后，利用等比数列的定义即可证明结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的通项公式求出a_n，利用错位相减法、分组求和法、等差、等比数列的前n项和公式，求出数列的前n项和S_n．

解答 证明：（Ⅰ）由题意得，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$），
又a₁=1，则$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=2+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（n+3），∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
则${S}_{n}=\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+\frac{6}{{2}^{4}}+…+\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
${\frac{1}{2}S}_{n}=\frac{4}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+\frac{6}{{2}^{5}}+…+\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$，
两式相减得，${\frac{1}{2}S}_{n}=\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$
=$\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$=$\frac{5}{4}-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{5}{2}-\frac{n+2}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）由（I）得，$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{3}^{n-1}}+\frac{1}{2}$，∴$\frac{2n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}+n$，
令${T}_{n}=\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{3}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{{3}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n}{{3}^{n}}$，②，
①-②得，$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{1}{{3}^{0}}+\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2•3}^{n}}$，
则${T}_{n}=\frac{9}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n-1}}$，
所以S_n=T_n+1+2+3+…+n=$\frac{9}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n-1}}$+$\frac{n（1+n）}{2}$
=$\frac{2{n}^{2}+2n+9}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，以及错位相减法、分组求和法求数列的和，属于中档题．