Question

5．如图，椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围；
（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求椭圆M的方程；
（2）分类讨论，y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用数量积公式求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围；
（3）由题意得：AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，联立方程组，消去x，解得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆M的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）①当直线l斜率不存在时，C（0，1），D（0，-1），$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1；…（5分）
当直线斜率存在时，设直线l方程为y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则
y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
△＞0，可得4k²＞3，…（7分）
$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$，
∴得-1＜$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$＜$\frac{13}{4}$．
综上可知，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范围是[-1，$\frac{13}{4}$）．…（10分）
②由题意得：AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，
联立方程组，消去x，解得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，
又4kx₁x₂=-3（x₁+x₂），得y=$\frac{1}{2}$．
∴点Q的纵坐标为定值$\frac{1}{2}$．…（15分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．