Question

15．设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，对于任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是a＜$\frac{2015}{6}$．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的表达式，通过讨论x的范围结合绝对值的几何意义，从而求出a的范围．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|-2a，x＞0}\\{-|x+a|+2a，x＜0}\end{array}\right.$，
又f（x）为R上的“2015型增函数”，
（1）当x＞0时，由定义有|x+2015-a|-2a＞|x-a|-2a，
即|x+2015-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2015的距离，
由于x＞0故可知a+a-2015＜0得a＜$\frac{2015}{2}$
当x＜0时，
①若x+2015＜0，则有-|x+2015+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2015+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2015的距离，
由于x＜0，故可得-a-a-2015＞0，得a＜$\frac{2015}{2}$；
②若x+2015＞0，则有|x+2015-a|-2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|+|x+2015-a|＞4a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2015的距离的和大于4a，
（2）当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2015+a|≥|-a-a+2015|=|2a-2015|，
故有|2a-2015|＞4a，必有2015-2a＞4a，解得a＜$\frac{2015}{6}$，
综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 a＜$\frac{2015}{6}$，
故答案为：a＜$\frac{2015}{6}$．

点评 本题考察了函数的奇偶性，考察新定义问题，根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键，本题是一道中档题．