Question

16．为了保护环境，某化工厂政府部门的支持下，进行技术改进：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．该工厂日处理废气的能力不低于40吨但不超过70吨．经测算，该工厂处理废气的成本y（元）与处理废气量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=2x²-120x+5000，且每处理1吨工业废气可得价值为60元的某种化工产品．
（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在每天生产中都不出现亏损现象，国家财政部门补贴至少每天多少元？
（2）若国家给予企业处理废气每吨70元财政补贴，当工厂处理量为多少吨时，工厂处理每吨废气平均收益最大？

Answer 1

分析 （1）利用每处理1吨工业废气可得价值为60元的某种化工产品，及函数关系式，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
（2）求出工厂处理每顿废气的平均收益的函数表达式，求出函数的最值，即可求得结论．

解答 解：（1）当x∈[40，70]时，设该工厂获利为S，则S=60x-（2x²-120x+5000）=-2（x-45）²-950
∴x∈[40，70]时，S_max=-950＜0，因此，该工厂不会获利，
当x=70时，S_min=-2200，
∴国家至少每天财政补贴2200元，保证工厂在生产中没有亏损现象出现，
（2）由题意，工厂处理每顿废气的平均收益为P（x）=60+70-$\frac{2{x}^{2}-120x+5000}{x}$=-2x-$\frac{5000}{x}$+250=-2（x+$\frac{2500}{x}$）+250，x∈[40，70]
∵x+$\frac{2500}{x}$≥100，当且仅当x=50时，取得最小值为100，
∴x=50时，P（x）取得最大值，最大值为P（50）=50，
故当工厂的日处理量为50吨时，工厂处理每顿废气的平均收益最大．

点评 本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题