Question

5．已知M，N为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P（异于点M，N）是双曲线上任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则当e${\;}^{{k}_{1}}$${\;}^{{k}_{2}}$^-1-ln（k₁k₂）取最小值时，双曲线离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 设M（-a，0），N（a，0），P（x，y），得到k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，构造函数y=e^x-1-lnx，利用导数性质能求出双曲线的离心率．

解答 解：设M（-a，0），N（a，0），P（x，y）
由题意，k₁=$\frac{y}{x+a}$，k₂=$\frac{y}{x-a}$
∴k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$，
∵点P在双曲线上，
∴k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
对于函数y=e^x-1-lnx，
由y′=e^x-1-$\frac{1}{x}$=0，得x=1，
x＞1时，y′＞0，0＜x＜1时，y′＜0，
∴当x=1时，函数y=e^x-1-lnx（x＞0）取得最小值1，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
∴e=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．